In diesem Lehrbuch wird der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren aus dem Resultat der
Linearen Algebra über die Diagonalisierung Hermitescher Matrizen hergeleitet. Dabei werden
Lebesgue-Stieltjes-Integrale verwendet und der Auswahl- sowie der Konvergenzsatz von Helly über
monotone Funktionen bereitgestellt. Wir konstruieren die Spektralschar durch eine technisch
aufwändige Approximation wobei die Stieltjes-Umkehrformel im Zentrum des Beweises steht. Ein
Ergebnis hiervon ist dass selbstadjungierte Operatoren nicht nur ein diskretes sondern auch
ein kontinuierliches Spektrum besitzen. Die auftretenden Streueigenwerte können hierbei nicht
durch Variationsmethoden gewonnen werden.Dann wenden wir uns der zentralen Frage zu welche
elliptischen Differentialoperatoren eine selbstadjungierte Fortsetzung besitzen und somit im
Geltungsbereich des Spektralsatzes liegen. Hier unterscheiden wir zwischen stabilen
elliptischen Differentialoperatoren auf beschränkten Gebieten und denen auf dem ganzen Raum
wie etwa dem Schrödingeroperator. Auch Laplace-Beltrami-Operatoren und der Schwarzsche Operator
für Minimalflächen werden im obigen Sinne als selbstadjungiert erkannt. Am Ende dieses Buches
geben wir eine Einführung in die Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren. Hier weisen wir
die analytische Abhängigkeit der Spektralschar vom Störungsparameter nach. Dieses Werk zur
Spektraltheorie ist insbesondere für das fortgeschrittene Mathematik- und Physikstudium
geeignet Kenntnisse in der Funktionalanalysis und der Theorie elliptischer
Differentialgleichungen werden vorausgesetzt.
