In der vorliegenden Arbeit werden im ersten Kapitel Methoden entwickelt mit denen Bedingungen
an die komplexwertigen Koeffizienten der linearen Differentialgleichung gewonnen werden können
die hinreichend für das Nichtauftreten gewisser Nullstellenkonfigurationen bei den Lösungen und
deren Ableitungen sind. Im zweiten Kapitel wird für reellwertige Koeffizienten das Raumpaar aus
den Lösungsräumen der Differentialgleichung (L) und der dazu adjungierten Differentialgleichung
(L+) mit einem skalaren Produkt B ausgestattet und damit ein duales Raumpaar erhalten. Es
können allgemeine Wechselbeziehungen zwischen den Nullstellenverteilungen der Lösungen von (L)
und (L+) hergeleitet werden hinsichtlich Oszillation Existenz von nichtoszillatorischen
schwach oszillatorischen und stark oszillatorischen zweidimensionalen Unterräumen
Charakterisierungen von speziellen Doppelkegelstrukturen der Menge der nichtoszillatorischen
Lösungen durch asymptotische Eigenschaften der Lösungen Diskonjugiertheit an den
Intervallgrenzen und der lokalen Diskonjugiertheit. Außerdem werden anstelle der Verwendung
spezieller Koeffizientenbedingungen nun Klassen von Differentialgleichungen durch den
Ausschluss gewisser Nullstellenkonfigurationen bei bestimmten Standardlösungen definiert und
Wechselbeziehungen zwischen den Klassen von (L) und (L+) dargestellt. Im dritten Kapitel wird
die schon 1905 von Wilczynski und 1911 von Birkhoff verwendete Integralkurve C in der
projektiven Ebene dargestellt die man erhält wenn man die Funktionswerte eines beliebig
fixierten Fundamentalsystems von (L) als die homogenen Koordinaten eines Punktes in der
projektiven Ebene interpretiert. Damit können die Nullstellen einer Lösung von (L) durch die
Treffpunkte einer Geraden mit der Integralkurve und die Nullstellen einer Lösung von (L+) durch
die Tangenten eines Punktes an die Integralkurve veranschaulicht werden. Allgemeiner wird
gezeigt dass eine bestimmte Gerade durch einen bestimmten Punkt genau dann geht wenn die
zugehörigen Lösungen von (L) und (L+) bezüglich des skalaren Produkts B orthogonal sind. Es
werden verschiedene Klassen der Differentialgleichungen mittels der besonderen Gestalt der
Integralkurve C veranschaulicht und umgekehrt geometrische Eigenschaften von C mittels
spezieller Lösungen analytisch charakterisiert. In Verallgemeinerung eines von Birkhoff
geometrisch begründeten Trennungssatzes für die Nullstellen von Lösungen werden weitere Sätze
über die Nullstellenanzahl von orthogonalen bzw. nicht orthogonalen Lösungen analytisch
bewiesen. Im vierten Kapitel werden Eigenschaften der Klassen KI und KII aufgezeigt
hinsichtlich Charakterisierungen der Diskonjugiertheit Charakterisierung der
nichtoszillatorischen Lösungen als die nullstellenfreien Lösungen Existenz von nichtnegativen
nichttrivialen Lösungen Existenz von stark oszillatorischen zweidimensionalen Unterräumen
Oszillation von (L) und (L+) Diskonjugiertheit an den Intervallgrenzen und Existenzvon
nullstellenfreien Lösungen. Ferner wird die von Birkhoff geometrisch begründete
Charakterisierung der Klasse KI U KII bei der die Tangenten von C das vorhergehende bzw. das
nachfolgende Kurvenstück nicht schneiden durch die Spiralform der Integralkurve C hier
analytisch bewiesen. In diesem Zusammenhang werden einige Hilfssätze bereitgestellt und auch
neue Erkenntnisse über die durch die ersten konjugierten Punkte gegebene Funktion hergeleitet.
