1. Innere Produkte Wir fUhren im Ramne ein kartesisches Koordinatensystem ein dessen Achsen so
orientiert sind wie das in der Fig. 1 angedeutet ist. Die drei Koordinaten eines Punktes ~
bezeichnen wir mit XI X x Alle betrach 2 3 teten Punkte setzen wir falls nicht ausdrucklich
etwas anderes gesagt wird als reell voraus. Xz Xl Fig.1. Zwei in bestimmter Reihenfolge
angeordnete Punkte ~ und t) des Raumes mit den Koordinaten XI' X x3 und YI' Y2 Y3 bestimmen
eine 2 von ~ nach t) fuhrende gerichtete Strecke. Zwei zu den Punktepaaren ~ t) und i ~
gehOrende gerichtete Strecken sind dann und nur dann gleichsinnig parallel und gleich lang
wenn die entsprechenden Koordi natendifferenzen alle ubereinstimmen: (1) Yi - Xi = Yi - Xi (i =
1 2 3). Wir bezeichnen das System aller von den samtlichen Punkten des Rau mes auslaufenden
gerichteten Strecken von einer und derselben Rich tung demselben Sinn und der gleichen Lange
als einen Vektor. Da fUr diese Strecken die Koordinatendifferenzen der beiden Endpunkte immer
die gleichen sind k6nnen wir diese drei Differenzen dem Vektor als seine 2 Einleitung
Komponenten zuordnen und zwar entsprechen die verschiedenen Systeme der als Vektorkomponenten
genommenen Zahlentripel eineindeutig den verschiedenen Vektoren. An den Vektoren ist
bemerkenswert daB ihre Komponenten sich bei einer Parallelverschiebung des Koordinaten systems
nicht andern im Gegensatz zu den Koordinaten der Punkte.
