EAN: 9783519020592

TEUBNER STUDIENBÜCHER MATHEMATIK MASS- UND INT...

In der griechischen Mathematik hat man L~ngen  Fl~chen  Volumina durch das Ausschöpfungsprinzip
des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging man von der
Annahme aus  daß die Fläche eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenlän gen ist  und erhielt
durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flächenstücken die Flächeninhalte von einfachen
Figuren wie Drei ecken  Trapezen  Parallelogrammen usw . . Sollte nun die Fläche ei ner
komplizierteren Figur K  etwa eines Kreises  bestimmt werden  so suchte man zu jeder positiven
Zahl e einfache Figuren Ie und Ae mit Ie c K c Ae derart  daß der Inhalt der einfachen Figur
Ae' Ie kleiner als e wurde  fand man nun eine Zahl a mit Inhalt(Ie) ~ a ~ Inhalt(Ae) für alle
eO  so gab man K den Flächeninhalt a. Es ist einfach zu sehen  daß dieser Begriff des
Flächeninhalts additiv ist  d. h. es gilt für disjunkte K und K   für die man mittels des
Ausschöpfung2 1 2 prinzipseinen Inhalt bestimmen kann  daß K u K einen Inhalt hat 1 2 und gilt.
Mit der Präzisierung des Grenzwertbegriffs im 19. Jahrhundert konn te diese Idee noch
erfolgreicher benutzt werden. Bei der Definition 2 des RIEMANNschen Inhalts einer Menge Kc R
verwendet man zur Appro ximation von innen und außen endliche Vereinidungen von achsenparal -
lelen Rechtecken.

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