EAN: 9783838203010

ANALYSIS 0 - WOLFGANG HELBIG KARTONIERT (TB)

Was bedeutet eigentlich das Gleichheitszeichen? Was ist ein Beweis? Warum ist ungerade mal
ungerade ungerade  aber minus mal minus plus? Auf solche Grundlagen gehen die
Lehrveranstaltungen zur Analysis an unseren Hochschulen selten ein. In Wolfgang Helbigs
Einführung finden sich Antworten auf Fragen wie diese. Anders als in vielen Einführungen geht
Helbig nicht nur auf die reellen und komplexen  sondern auch auf die natürlichen  ganzen und
rationalen Zahlen ein. Sie werden durch Axiome so definiert  daß sie lückenlose Beweise nicht
nur in der Analysis  sondern auch in der Zahlentheorie oder der Kombinatorik ermöglichen. Die
Widerspruchsfreiheit dieser Axiome wird durch vollständig ausgeführte mengentheoretische
Konstruktionen nachgewiesen  wobei einzig die Existenz einer Peano-Struktur vorausgesetzt wird.
Die Eigenschaften stetiger Funktionen  konvergenter Folgen und Reihen  zusammenhängender und
kompakter Mengen werden aus den Axiomen des metrischen Raums abgeleitet und als weiteres
Beispiel der axiomatischen Methode auf Zahlenbereiche und Funktionenräume übertragen  um
Potenzen mit reellen und komplexen Exponenten zu studieren. Alle Sätze  vom Prinzip der
rekursiven Definition bis zum Satz von Heine-Borel  und alle Formeln  von der geometrischen
Reihe bis zum Cauchyprodukt  werden allein aus den Axiomen abgeleitet. In Helbigs Analysis 0
gibt es nichts Triviales  jeder Schluß wird begründet. Dabei legt Helbig besonderen Wert auf
die Leserfreundlichkeit der Beweise. So kann der Leser die Chance wahrnehmen  die Schlüssigkeit
der Argumentation selbst zu beurteilen. Auch der mathematisch Fortgeschrittene zieht aus der
Lektüre Gewinn - findet doch auch er die Herleitung zahlreicher vertrauter Sätze  die er
bislang beweislos und unkritisch benutzt hat  etwa zu Eigenschaften endlicher Mengen oder den
Rechengesetzen endlicher Summen.

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